Introduction à la Topologie
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Date
2021-10-02
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Le mots topologie se compose de deux parties, Topo qui signifie lieux et Loigie qui signifie science, c’est donc la science du lieux. Ce mots a été introduit en 1836 par le savant almand Listing, puis c’est le savant Weistrass qui a continu le chemin en introduisant en 1860 la notion de limite. Ces travaux ont été exploités par Cantor (1845-1966) qui a inventé la notion de distance entre deux points et Frechet qui a donné pour la première fois, en 1906, la définition des espaces métriques. Enfin c’est le savant Filix Hausdorff en 1914 qui fixera définitivement les trois axioms définissants une topologie sur un ensemble donné.
Contrairemnt à la géométrie, la topologie ne donne pas importance au formes des ensembles (carré, rectangle, ) ou à leurs dimensions (longuer,largeur, ) mais
surtout à la position des singletons par rapport à ces ensembles, est ce qu’ils sont dans l’intérieure, la frantière, l’adhérence ou dans le complémentaire ?
Elle s’intéresse aussi à leur répartition dans l’ensemble
lui même, (compacité ou connexité de l’ensemble). Remarquons que tout ces conceptes sont basés sur la logique du lieux.
Motivation : Pour une bonne formation universitaire en mathématiques,l’enseignement d’un cours de topologie est indispensable afin de généraliser les consepts
connues dans l’analyse des fonctions à une variable réelle et traiter ainsi des problèmes définies sur des espaces vectoriels de dimensionn > 1 ou plus encore sur
des espaces qui ne bénificie pas d’une structure vectoriel. Plus précisament une structure topologique est plus que nécessaire pour étudier la continuité d’une fonction, la convergence d’une suite et plus précisament toute notion basée sur le concepte limite, comme dans l’algébre, une structure vectoriel est indispensable pour parler de la linéarité d’une fonction ou la convexité d’un ensemble.
Rappelons qu’un petit bagage sur la théorie des ensembles en générale et les structures algébriques en particulier fournit au lecteur un bon avantage et il lui ouvre plus l’axé au concepts topologiques abstraits. Plus exactementle fait de comprendre que les propriété algébriques d’un objet ne sont pas absolues mais elles sont relatives á une sructure algébrique fixiée d’avance,permet au lecteur de s’adapter à la relativité et l’abstraction des notions introduite dans la topologie générale.
Le lecteur de ce cours est supposé aussi familiariser avec les notions d’analyse réelle de 1ère année mathématiques où il devrait remarquer qu’elles sont
touts patiquement basées sur la notion de limite et convergence.