polycopié de Cours Analyse Complexe (Math4) : Cours et Exercices Corrigés
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Date
2021
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Faculté des Sciences
Abstract
Pourquoi étudier les mathématiques (équations aux dérivées partielles quand on est mathématicien physicien? En dépit de la mode actuelle tendant dévalorisé, non seulement l'utilisation, mais également la simple connaissance des équations aux dérivées partielles dans l'apprentissage et la pratique de la physique, les EDP demeurent un champ de connaissances précieux, indispensable, pour l'étudiant comme pour le chercheur. Il est peut-être utile de rappeler que, comme le disait Galilée, le livre de la Nature est écrit dans le langage des mathématiques.
L'objectif du cours des équations de la physique mathématiques est de fournir à l'étudiant les outils mathématiques utilisés dans les cours de physique, géophysique, mécanique, électronique et des autres sciences techniques.
Depuis Galilée et Newton les plus grands noms de la physique sont la pour montrer que la connaissance mathématique permet de comprendre et d'utiliser plus facilement des notions physiques précises, de les fonder solidement .
Les problèmes commencent à apparaître lorsqu'on l'on cherche à modéliser des solides déformables (souvent supposés idéaux, au moins le temps de la modélisation, la notion d'idéalité d'un objet dépendant évidemment de la situation). Historiquement, les équations sont apparues avec l'équation des cordes vibrantes, introduite par d'Alembert en 1749 dans un texte intitulé Recherches sur la courbe que forme une courbe tendue mise en vibration Cette équation a une histoire riche en rebondissements qui mériterait une étude approfondie sur le plan historique, et nous nous contenterons ici de donner quelques éléments sur la controverse qui opposa Euler, d'Alembert et Daniel Bernoulli ; en effet, d'Alembert ayant trouvé la forme générale des solutions classiques de l'équation, Bernoulli s'empare de ses travaux et introduit, à sa manière, un développement en série de Fourier des solutions (ce qui imposerait une certaine régularité ), tandis qu'Euler réussit à déterminer la solution générale en fonction du profil initial, qui peut présenter des défauts de régularité ; sa solution a pourtant toujours un sens. Les travaux de Bernoulli se retrouveront plus tard dans le célèbre Théorie analytique de la chaleur de Joseph Fourier. La modélisation d'un problème réel utilise les lois de la physique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme, acoustique, etc. ), ces lois sont, généralement, écrites sous la forme de bilans qui se traduisent mathématiquement par des Équations Différentielles Ordinaires ou par des Équations aux Dérivées Partielles. Les équations aux dérivées partielles (équations de la physique mathématique) sont un sujet de recherche très actif en mathématiques et elles sont à l'origine de la création de beaucoup de concepts mathématiques comme, par exemple, la transformée de Fourier et la théorie des distributions. Dans la plupart des cas il est très difficile, voir impossible d'exhiber les solutions d'une équation aux dérivées partielles. Dans certains cas on arrive à montrer que le problème est bien posé (c'est-'a-dire qu'il admet une solution unique) et on peut, parfois, calculer des approximations numériques des solutions. Il existe une infinité d'équations aux dérivées partielles. Il n'existe pas une méthode universelle pour résoudre toutes celles- ci. Il faut donc se résoudre a restreindre notre champ d'étude. Cet ouvrage contient l'outil qui permet à l'étudiant des sciences et technologies et des sciences physiques d'assimiler les concepts fondamentaux de l'application des équations de la physique mathématique devenues un élément essentiel dans la formation des licenciés, des masters et doctorants. Les étudiants tireront de ce polycopié les démarches et les techniques à suivre pour la compréhension et la résolution des problèmes de la physique mathématique. Le contenu mathématiques de chaque chapitre est limité au strict niveau nécessaire à la compréhension des définitions et des théorèmes accompagnés d'exercices des travaux dirigés, dont l'objectif essentiel l'apprentissage effectif les notions mathématiques introduits dans cette discipline