Cours sur Espaces vectoriels normés : Pour la 3iéme Année Licence Mathématiques - Semestre 5.
| dc.contributor.author | Khelili , Besma | |
| dc.date.accessioned | 2025-07-22T09:35:00Z | |
| dc.date.available | 2025-07-22T09:35:00Z | |
| dc.date.issued | 2025 | |
| dc.description.abstract | Ce polycopié pédagogique, intitulé " Les espaces vectoriels normés " , est le fruit de plusieurs années d'enseignement des matières Analyse 1-3, Topologie et Algèbre linéaire. Il est destiné aux étudiants de L3 en licence de mathématiques et a été dispensé à l' université 20 août 1955 de Skikda entre 2018 et 2025. Ce cours introduit les concepts fondamentaux des espaces normés et des espaces de Hilbert , qui jouent un rôle clé en analyse fonctionnelle. Ce manuscrit constitue un guide complet visant à aider les étudiants à développer une compréhension approfondie de ces espaces, de leurs propriétés et de leurs applications. L' étude de ce sujet leur fournit une base rigoureuse pour la recherche et les applications mathématiques avancées dans divers domaines scientifiques. Il se décline en trois chapitres, chacun étant suivi d'une série d'exercices. Nous commençons par un rappel des concepts fondamentaux des espaces vectoriels et de leurs sous-espaces, qui forment le cadre général des structures algébriques utilisées en mathématiques. Ensuite, dans le chapitre 1, nous introduisons la notion de norme sur un espace vectoriel, en définissant la norme, la distance et en présentant divers exemples d'espaces vectoriels normés. Il explore l' équivalence des normes et les boules, essentielles pour l' étude de la convergence et de la continuité. Des concepts topologiques fondamentaux, tels que la limite, les ouverts, les fermés, l' adhérence et l' intérieur, sont abordés, ainsi que les ensembles et fonctions bornés. Enfin, la dernière partie traite des espaces de Banach, caractérisés par leur complétude, en introduisant les suites de Cauchy et en illustrant leurs propriétés par des exemples concrets. Le deuxième chapitre étudie les applications linéaires continues et la continuité dans les espaces vectoriels normés. Il traite des formes linéaires, de la dualité topologique et des propriétés des espaces de dimension finie. Des exercices pratiques illustrent ces concepts Le troisième chapitre est consacré aux espaces de Hilbert, qui jouent un rôle central en analyse fonctionnelle en raison de leur structure géométrique riche et de leurs nombreuses applications. Il commence par l' introduction du produit scalaire, qui permet de définir une distance et d' étudier les propriétés géométriques des espaces vectoriels. L'étude se poursuit avec les espaces préhilbertiens complets, où l' on introduit les notions essentielles d orthogonalité et de projection orthogonale. Le théorème de représentation de Riesz est également abordé, illustrant l importance de la dualité dans ces espaces. Une section d' exercices est incluse pour consolider ces concepts fondamentaux. Ensuite, le chapitre se focalise sur les systèmes orthogonaux et les bases hilbertiennes, en introduisant les concepts de systèmes orthogonaux et orthonormaux. Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt est présenté comme un outil essentiel pour construire des bases orthonormées. Les inégalités de Bessel et de Parseval sont étudiées en détail, suivies de l'égalité de Parseval, qui met en évidence le lien entre les séries orthogonales et la structure des espaces de Hilbert. Enfin, une attention particulière est portée aux systèmes orthonormés complets dans des espaces concrets, avec une application directe aux séries de Fourier. La base hilbertienne trigonométrique est introduite, illustrant l' utilité des espaces de Hilbert en analyse de Fourier. La majorité des exemples sont extraits des références [1 - 23]. Pour compléter l 'étude , une série d exercices et de travaux dirigés est proposée, couvrant des sujets variés, pour approfondir la compréhension et maîtriser les outils mathématiques abordés dans ce cours. | |
| dc.identifier.uri | http://dspace.univ-skikda.dz:4000/handle/123456789/5013 | |
| dc.language.iso | fr | |
| dc.publisher | Faculté des Sciences | |
| dc.title | Cours sur Espaces vectoriels normés : Pour la 3iéme Année Licence Mathématiques - Semestre 5. | |
| dc.type | Publication pédagogique |