Cours de la théorie des semi groupes d'opérateurs linéaires
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Date
2023
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Faculté des Sciences
Abstract
La plus part des phénomènes dans la nature peuvent être reformulé et
modélisé sous forme d'une équation différentielle (ordinaire ou aux dé-
rivées partielles, inclus les conditions au bord) ou d'un systèmes d'équations
différentielles.
Une vaste classe de ces équations peuvent être écrite sous forme d'un
problème d'évolution :
du(t)
dt = Au(t) + f(t); t > 0:
u(s) = u0:
Dans le cas où f(t) = 0, s = 0 et A est une application Lipchitzienne
le théorème de Cauchy-Lipchitz -Picard rend un grand service à résoudre ce
problème et la solution sera donnée par la formule :
u(t) = eAtu0:
Mais dans le cas où A est non borné, alors A est non Lipchitzienne, donc
on peut pas appliquer le théorème de Cauchy-Lipchitz-Picard.
L'idée serait de définir pour une classe d'opérateurs non nécessairement
bornés un objet mathématique qui donne l'existence et l'unicité.
La théorie des semi groupes d'opérateurs linéaires trouve dans les espaces
de Banach une résolution dans le cas où A est non borné.